بازگشت تغییر انقلابی که در فهم ما از پدیده های میکروسکوپی در ۲۷ سال اول قرن بیستم حادث شد درتاریخ علوم طبیعی بی سابقه است . نه تنها محدودیت های اکیدی را در اعتبار فیزیک کلاسیک دیدیم ، بلکه نظریۀ دیگری با دیدگاه و محدودۀ کاربرد وسیع تری را یافتیم که جای گزین نظریه های فیزیک کلاسیک شد.اغلب روش های سنتی مطالعۀ مکانیک کوانتومی با بررسی پیشرفت های تاریخی- قانون تابش پلانک ، نظریۀ انیشتین- دبای برای گرمای ویژه ، اتم بوهر ، امواج مادی دوبروی وغیره، به همراه تحلیل دقیق آزمایش های کلیدی نظیر اثر کامپتون، آزمایش فرانک هرتز و آزمایش دیویسون- گرمر-تامسون آغاز می شود . در چنین روشی می توان دریافت چگونه فیزیک دانان در ربع اول قرن بیستم ، اندک اندک مجبور به ترک مفاهیم جا افتادۀ فیزیک کلاسیک شدند و چگونه سرانجام علی رغم شنیدن آغاز ناموفق و بازگشت های نادرست ، استادان بزرگ ؛ هایزنبرگ، شرودینگر ، دیراک و دیگران؛موفق به فرمول بندی مکانیک کوانتومی به آن شکلی که امروزه می شناسیم شدند. به هر حال در این درس، با مثالی که بی کفایتی مفاهیم کلاسیکی را به طور اساسی نشان می دهد (آزمایش اشترن-گرلاخ) شروع و سپس مفاهیم بنیادی در کوانتوم و اهمیت و نحوۀ به کارگیری آن ها را شرح می دهیم.
<بسمه تعالی درس کوانتوم پیشرفته کارشناسی ارشد استاددرس: دکترصالحی جلسۀ شنبه10/12/98 فصل دوم: دینامیک کوانتومی انتشاردهنده ها و انتگرال های مسیر فاینمن انتشار گرها در مکانیک موجی در بخش های قبلی نشان دادیم که چگونه عام ترین مسئله تحول زمانی با یک هامیلتونی مستقل از زمان را تنها می توان با بسط کت های اولیه برحسب ویژه کت های مشاهده پذیری که با جا به جا می شود ، حل کرد. حال اجازه دهید این مطلب را به زبان مکانیک موجی ترجمه کنیم. با عبارت زیر شروع می کنیم: هر دو طرف را از چپ در ضرب می کنیم ،خواهیم داشت: (2) که آن را به شکل زیر هم می توان نوشت : (3) که در آن (4) ویژه تابع عملگر با ویژه مقدار است . همچنین توجه داریم که (5) همان قاعده معمول در مکانیک موجی برای یافتن ضرایب بسط حالت اولیه است. (6) حال (2) به همراه (5) را می توان به صورت نوعی عملگر انتگرالی تصور کرد که روی تابع موج اولیه اثر کرده و تابع موج نهایی را می دهد. (7) در این جا عملگر انتگرالی ،که در مکانیک موجی انتشارگر نامیده می شود و عملگر انتشارگر را می توان این گونه تصور کرد که روی تابع موج اولیه اثر کرده و تابع موج نهایی را می دهد و به صورت زیر داده می شود : (8) که فقط به پتانسیل بستگی داشته ومستقل از تابع موج اولیه می باشد و تنها با داشتن ویژه توابع انرژی و ویژه مقادیر آن ها ، می توان آن را ساخت . به وضوح، تحول زمانی تابع موج با داشتن و دادن ،کاملاً قابل پیش بینی است. از این بابت مکانیک موجی شرودینگر ، کاملاً یک نظریۀ علمی است. بسط زمانی تابع موج تحت اثر یک پتانسیل ،درمکانیک کلاسیک ،تا زمان عدم اختلال سامانه اشکالی ندارد . تنها خصوصیتی که شاید بتوان گفت ویژه باشد ، آن است که وقتی اندازه گیری صورت می گیرد،تابع موج به صورت ناگهانی و غیر قابل کنترل، به یکی از ویژه توابع مشاهده پذیری که اندازه گیری می شود ،تغییر می یابد. انتشارگر دارای دو خاصیت زیراست که عبارتنداز: خاصیت اول : در زمان های ، در معادلۀ موج وابسته به زمان شرودینگر صدق می کند و این مسئله از رابطۀ (8) واضح است . زیرا تابع موج متناظر با است و در معادلۀ موج شرودینگر صدق می کند. خاصیت دوم : (9) که با توجه به حد ، به دلیل کامل بودن {├|├ a'⟩┤} ،مجموع (8) به تحویل می یابد، واضح است . به دلیل این دو خاصیت ،انتشارگر (8) به عنوان تابعی از ، تابع موج ذره ای است درزمان ،که در زمان قبلی به طور کامل در نقطۀ جایگزیده بوده است .بنابراین معادلۀ(8) را می توان به صورت زیر نوشت: (10) زیرا با اثر عملگر تحول زمانی روی ، کت حالت سامانه ای در زمان به دست می آید که در زمان کاملا ً در جایگزیده بوده است. اگر بخواهیم مسئلۀ عامتری را حل کنیم که در آن تابع موج اولیه در ناحیۀ معینی از فضا گسترش دارد ، تنها کاری که باید انجام دهیم ضرب در انتشارگر و انتگرال گیری روی تمام فضا (روی ) است. بدین صورت، سهم نقاط مختلف( ) را جمع کرده ایم .این وضعیت ،مشابه موردی در الکترواستاتیک است : مثال: مطلوبست محاسبۀ پتانسیل الکترواستاتیکی ناشی از یک توزیع بار دلخواه . ابتدا مسئله بار نقطه ای را حل و سپس جواب بار نقطه ای را در توزیع بار ضرب کرده و انتگرال می گیریم . (11) و چون انتشاردهنده؛ تابع گرین معادلۀ موج وابسته به زمان است ، که در معادلۀ (12) با شرط مرزی (13) صدق می کند. وجود تابع در طرف راست معادلۀ (12) مورد نیاز است ، زیرا انتشارگر در به صورت نا پیوسته تغییر می کند و شکل انتشاردهنده، به پتانسیلی که ذره در آن قرار دارد بستگی دارد. مثلاً برای یک ذرۀ آزاد در یک بعد ؛ مشاهده پذیری که با جا به جا می شود، اندازه حرکت است و ویژه کت همزمان عملگر های و است : (14) ویژه تابع اندازه حرکت ،تابع تبدیل است و به شکل موج تخت است . بنابراین می توان نوشت: (15) که می توان رابطۀ بالا را به صورت زیر نوشت: و با استفاده از رابطۀ نتیجه می شود: (16) که از این عبارت برای مطالعۀ نحوۀ گسترش تابع موج گاوسی بر حسب زمان ،می توان استفاده کرد. مثال : نوسانگر هماهنگ ساده برای نوسانگر هماهنگ ساده ،تابع موج ویژه حالت های انرژی آن به شکل زیر می باشد. u_n (x)exp((-iE_n t)/ћ)=(1/(2^(n/2) √n!)) (mω/πћ)^(1/4) exp(〖mωx〗^2/2ћ) (17) ×H_n (√(mω/ћ) x)exp[-iω(n+1/2)t] و انتشارگر با رابطۀ زیر داده می شود: K(x˝t;x^' t_0 )=√(mω/(2πiћ sin[ω(t-t_0)] )) exp[{imω/(2ћ sin[ω(t-t_0)] )} (18) ×{(〖x˝〗^2+〖x'〗^2 )cos[ω(t-t_0)]-2x˝x'}]. یکی از راه های اثبات این رابطه ،استفاده از رابطۀ زیر است. (1/√(1-ζ^2 ))exp[(-(ξ^2+y^2-2ξyζ)/((1-ξ^2 ) )] (19) =exp[-(ξ^2+y^2)] ∑_(n=0)▒〖(ζ^n/(2^n n!)) H_n (ξ) H_n (y),〗 رابطۀ (18) را می توان با استفاده از روش عملگری و و یا از روش انتگرال مسیر ،نیز به دست آورد. توجه کنید که (18) تابعی تناوبی نسبت به زمان با بسامد زاویه ای ، یعنی بسامد کلاسیک نوسانگر ، است . یکی از نتایج این رابطه آن است که ذره ای که در ابتدا کاملاً در نقطۀ جایگزیده بوده ، دقیقا ً پس از گذشت زمان2π/ω(4π/ω و الی آخر ) به جای اول خود باز می گردد. حال بال انتخاب و (حالت خاص) و انتگرال گیری روی همۀ نقاط فضا داریم: =∫▒d^3 x'∑_a'▒〖|⟨x'│a'⟩|^2 exp((-iE_a' t)/ћ) 〗 (20) =∑_a'▒〖exp((-iE_a' t)/ћ).〗 که معادل رد عملگر تحول زمانی در نمایش است ولی رد مستقل از نمایش است. با توجه به این که در جملۀ آخر معادلۀ(20) روی تمام حالت ها جمع زده می شود ،و این یاد آور تابع پارش در مکانیک آماری است. در واقع اگر متغیر را موهومی محض نمائیم و را به صورت زیر تعریف کنیم. (21) که کمیتی حقیقی و مثبت است ،در آن صورت (20) همان تابع پارش خواهد شد. (22) Z=∑_a'▒〖exp(-〖βE〗_a' ).〗 بدین سبب ،برخی از روش هایی که درمطالعۀ انتشارگر ها در مکانیک کوانتومی به کار می روند ، در مکانیک آماری هم مفید خواهند بود. حال با درنظر گرفتن تبدیل لاپلاس-فوریۀ داریم: G ̃(E)=-i∫_0^∞▒dt G(t)exp(iEt) (23) =-i∫_0^∞▒dt ∑_a'▒exp (-iE_a' t)exp(iEt) انتگرالده به صورت نامحدود نوسانی است لذا با انتخاب (24) E→E+iε. ودر حد به دست می آید: (25) G ̃(E)=∑_a'▒1/(E-E_a' ) مشاهده می کنیم که طیف کامل انرژی ، به صورت قطب های ساده در فضای مختلط ظاهر شده است .بنابراین اگر بخواهیم طیف انرژی یک سامانۀ فیزیکی را بدانیم ، کافی است ویژگی های تحلیلی را مطالعه کنیم . انتشاردهنده به عنوان دامنۀ گذار برای به دست آوردن دید بیشتری از معنی فیزیکی انتشارگر ،ارتباط آن با مفهوم دامنۀ گذار را ،بررسی می کنیم .با توجه به این که انتشار دهنده را می توان به صورت زیر نوشت: K(x˝t;x't_0 )=∑_a'▒〖⟨x"│a'⟩⟨a'│x'⟩exp[(-iE_a' (t-t_0))/ћ] 〗 =∑_a'▒├ ⟨x"┤┤| exp(iHt/ћ)|├ a'⟩┤ ├ ⟨ a'┤┤|exp(〖iHt〗_0/ћ)|├ x'⟩┤ (26) =⟨x" ,t│x',t_0 ⟩, که در آن و به ترتیب ویژه کت و ویژه برای عملگر مکان در تصویر هایزنبرگ هستند و دامنۀ احتمال( دامنۀ گذار ) داده می شودبا: =کت حالت پایه.برای حالت پایه و این که تابع موج را می توان به دوصورت 1: تصور شرودینگر که در آن بردار حالت صریحاً وابسته به زمان است. 2: تصویر هایزنبرگ که بردار حالت نسبت به زمان ثابت است. در تصویر هایزنبرگ ؛ دامنۀ احتمال را به صورت نشان دادیم که معنای آن این است که هر گاه سیستم در زمان اولیه ، در ویژه حالت با ویژه مقدار a’ باشد. این کمیت را دامنۀ گذار از حالت |├ a'⟩┤ به حالت|├ b'⟩┤ نامیدیم . از آن جا که انتخاب مقدار اهمیتی ندارد؛ و تنها اختلاف در زمان t-t_0 حائز اهمیت است؛می توان را به عنوان دامنۀ احتمال یافتن ذره در زمان t در نقطۀ x˝ در نظر گرفت ،وقتی که ذره در زمان دارای ویژه مقدار مکان x’ باشد. به صورت غیر دقیق ، دامنۀ رفتن ذره از نقطۀ فضا-زمانی (x',t_0) به نقطۀ دیگر فضا-زمان (x˝,t) است ، و بنابراین استفاده از عبارت دامنۀ گذار برای این کمیت ، مناسب است . این تعبیر در توافق کامل با تعبیری است که قبلا ً برای داده بودیم . هنوز می توان را به صورت دیگری هم تعبیر نمود.در تصویر هایزنبرگ ویژه کت مکان در زمان و با ویژه مقدار است . حال از آن جا که در تصویر هایزنبرگ ،می توان ویژه کت های یک مشاهده پذیر را ،در هر زمانی به عنوان کت های پایه در نظر گرفت ،بنابراین می توان را به عنوان تابع تبدیلی تعبیر کرد که دو مجموعه کت های پایه در زمان های مختلف را به هم مربوط می کند. بنابراین در تصویر هایزنبرگ می توان تحول زمانی را به عنوان یک تبدیل یکانی در نظر گرفت ،زیرا می توان تحول زمانی را به صورت تبدیل پایه ای در نظر گرفت که مجموعه کت های پایۀ را به مربوط می کند . این تعبیر یاد آور مفهوم مشابهی در فیزیک کلاسیک است . در آن جا هم تحول زمانی یک متغیر دینامیکی کلاسیک ، نظیر ،را می توان به صورت یک تبدیل کانونیک درنظر گرفت که مولد آن ، هامیلتونی کلاسیک سامانه است . حال به نظر می آید که مناسب تر است از نمادگذاری استفاده کنیم که مختصات فضایی و زمانی به صورت متقارن تری ظاهر شوند. از این به بعد ،به جای از استفاده خواهیم کرد. چون در تصویر هایزنبرگ ،در هر زمانی ، کت های مکان یک مجموعه کامل هستند ، لذا مجاز هستیم که در هر جایی که بخواهیم عملگر واحد (27) را قرار دهیم . به عنوان مثال، با درنظر گرفتن تحول زمانی از تا ،با تقسیم بازۀ زمانی ( t',t’˝) به دو قسمت (t',t˝) و (t˝,t’’’) ، خواهیم داشت: (28) این خاصیت را ،خاصیت ترکیب دامنۀ گذار می نامیم همچنین می توان بازۀ زمانی را به هر تعداد زیر بازه های کوچکتر زمانی تقسیم کرد . بنابراین می توان نوشت : (29) =∫▒d^3 x˝ '∫▒d^3 x˝〈x˝˝,t˝˝├|├ x˝ ',t˝ '⟩┤ ├ ⟨x˝ ',t˝ '┤┤|x˝,t˝〉×〈x˝,t˝├|x',t'┤〉,(t˝˝>t˝ '>t˝>t'>), و الی آخر . حال اگر بنحوی ، بتوان شکل را برای بازه های زمانی بینهایت کوچک حدس زد (بین و t˝=t'+dt)، آنگاه با استفاده از بسطی مشابه (29) ، می توان دامنۀ را برای بازه های زمانی محدود، با ترکیب مناسب دامنه های گذاری که مربوط به بازه های زمانی بینهایت کوچک هستند، به دست آورد. این روش، ما را به فرمولبندی مستقلی از مکانیک کوانتومی هدایت می کند که به فاینمن منتسب است و در سال 1984 منتشر شد. انتگرال مسیر به عنوان جمعی روی مسیرها بدون از دست دادن عمومیّت مسئله، حالت یک بعدی را درنظر می گیریم. با استفاده از دامنۀ گذار ذره ای را که از نقطۀ اولیۀ به نقطه نهایی فضا- زمان می رود را بررسی می کنیم. بازۀ زمانی بین تا را به قسمت مساوی تقسیم می کنیم. (30) با استفاده از خاصیّت ترکیب، داریم: (31) 〈x_N ,t_N |x_1 ,t_1 〉= ∫▒〖〖dx〗_(N-1) ∫▒〖〖dx〗_(N-2)…∫▒〖dx_2 〈x_N,t_N |x_N,t_(N-1) 〉 〗〗〗 ×〈x_(N-1) t_(N-1) ├|x_(N-2),t_(N-2) ┤〉…〈├ x_2,t_2 ┤| x_1,t_1 〉. برای به تصویر کشیدن این رابطه، صفحه فضا- زمان شکل(2)را در نظر می گیریم. نقاط اولیه و نهایی فضا- زمان، به صورت نقاط ، معیّن شده اند. همان گونه که رابطۀ بالا نشان می دهد، برای هر تکۀ زمانی، مثلاً از t_(n-1) تا t_n، دامنۀ گذار برای عبور از به را در نظر گرفته و سپس روی تمام …,x_3,x_2 تا x_(N-1) انتگرال گیری می کنیم. این کار بدین معناست که باید روی تمام مسیرهای ممکن در صفحۀ فضا- زمان، با نقاط اولیه و نهایی ثابت، جمع ببندیم. قبل از ادامۀ بحث، مروری بر چگونگی ظاهر شدن مسیر در مکانیک کلاسیک سودمند است. فرض کنید ذره ای داریم که تحت تأثیر نیرویی که یک پتانسیل بدست می آید قرار گرفته است. لاگرانژی کلاسیک ذره عبارت است از (32) اگر این لاگرانژی و نیز نقاط اولیه و نهایی ، معین باشند، در مکانیک کلاسیک هر مسیری که نقطۀ را به وصل می کند در نظر نمی گیریم، بلکه به عکس، تنها یک مسیر یکتا وجود دارد که متناظر با حرکت واقعی ذرۀ کلاسیک است. شکل 2: مسیرهای در صفحۀ- xt به عنوان نمونه در مثال (33) V(x)=mgx, (x_1,t_1 )=(h,o),(x_N,t_N )=(O,√(2h/g)), که در آن h ارتفاع است، مسیر کلاسیک در صفحۀ- xt تنها می تواند به صورت زیر باشد. (34) x=h-〖gt〗^2/2 در حالت کلی، بنابر اصل هامیلتون، مسیر یکتا چنان است که کنش را، که بنابر تعریف انتگرال زمانی لاگرانژی کلاسیک است، کمینه می کند: (35) که این رابطه معادلۀ حرکت لاگرانژ را می دهد. فرمولبندی فاینمن اختلاف اساسی بین مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی در این است که در مکانیک کلاسیک، یک مسیر مشخص در صفحۀxt معرف حرکت ذرّه است. درحالی که در مکانیک کوانتومی، تمام مسیر های ممکن بایدنقش بازی کنند.با این وجود باید بتوان مکانیک کلاسیک را در حدّ ، به نحو بکنواختی دوباره به دست آوردو فاینمن این کار را به صورت زیر انجام داد.او به دنبال فهم عبارت بود که متناظر با بودکه منجر به فرمول بندی روش فضا-زمان مکانیک کوانتومی بر اساس انتگرال های مسیر هدایت شد.با معرفی نمادگذاری جدید به صورت زیر کنش کلاسیکی= انتگرال زمانی لاگرانژی کلاسیک (36) از آن جا که 〖 L〗_کلاسیکتابعی از xو x ̇ است، بنابراین هنگامی تعریف شده است که مسیر معینی که باید انتگرال را در امتداد آن بگیریم مشخّص شده باشد. با مشخص کردن مسیر و و نسبت دادن به این قطعۀ کوچک داریم.یعنی با جمع ضربی این قطعات کوچک داریم: (37) ■(N@Π@n=2) exp [(iS(n,n-1))/ℏ]=exp[i/ℏ]=exp[is(N,1)/ℏ]. و عبارت را با فرض فاصلۀ زمانی بی نهایت کوچک ین t_(n-1) و t_n به صورت زیر می نویسیم. (38) 〈x_N,t_N |x_1,t_1 〉~■(Σ@ها مسیر تمام) exp[(iS(N-1))/ℏ], که جمع بندی باید روی مجموعۀ بینهایت غیر قابل شمارشی مسیرها انجام گیرد. درحد . جملۀ نهایی(38) شدیداً نوسانی خواهد شد،و بنابراین سهم مسیرهای همسایه،همدیگر راحذف می نمایند. این حذف از آن جهت است که برای مسیری معین و برای مسیری که با آن قدری تفاوت دارد، بخاطر کوچکی فازهای بسیار متفاوتی دارند. بنابراین هنگامی که را کمیّت کوچکی بگیریم، بسیاری از مسیرها سهمی ندارند. اما یک استثنای مهم وجود دارد. با انتخاب مسیر به صورت زیر (39) که تغییر در حاصل از انحرافات کوچک مسیر، با ابتدا و انتهای ثابت است. این مسیر، با توجه با اصل هامیلتون، دقیقاً مسیر کلاسیک است. را که در معادلۀ (39) برقرار است، با S_minنشان می دهیم. حال مسیر را مقدار کمی از مسیر کلاسیک تغییر می دهیم. تا مرتبۀ اول تغییر، S به دست آمده با S_minمساوی است. این بدین معنی است که به آرامی از مسیر کلاسیک منحرف شویم، فاز تغییر زیادی نمی کند، هر چند هم کوچک باشد. بنابراین تا وقتی در نزدیکی مسیر کلاسیک باشیم امکان تداخل سازنده بین مسیر های همسایه وجود دارد. همانطور که شکل(3) نشان داده شده است، در حدّ ، سهم اصلی مربوط به نوار (ویا در ابعاد بالاتر لوله) بسیار باریکی است که شامل مسیر کلاسیک می شود. بنابراین حدس ما (یا فاینمن) که مبتنی بر عبارت مرموزانۀ دیراک بود، رفتار درستی دارد، زیرا در حدّ به مسیر کلاسیک محدود می شود. برای فرمولبندی دقیق تر حدس فاینمن، به باز می گردیم، هنگامی که اختلاف زمانی بینهایت کوچک باشد آن را به صورت زیر می نویسیم. (40) 〈x_n,t_n |x_(n-1),t_(n-1) 〉= [1/w(∆t) ]exp[is(n,n-1)/ℏ], که در این رابطه در حد ∆t→O محاسبه می شود. توجه کنید که ضریب وزنی(تابع وزن) 1/w(∆t) را هم قرار داده ایم که این ضریب تنها به بازۀ زمانی بستگی دارد و نه به V(x). شکل 3: مسیرهایی که در حد ℏ→O مهم هستند. با فرض می توان از تقریب خط مستقیم برای مسیری که را به را به هم وصل می کند استفاده نمود. (41) S(n,n-1)=∫_(t_(n-1))^(t_n)▒dt[(m(x^2 ) ̇)/2-V(x)] =∆t{(m/2) [((x_n-x_(n-1) ))/∆t]^2-V(((x_n-x_(n-1) ))/2)}. درحالت ذره آزاد( V=O، )داریم: (42) 〈x_n,t_n |x_(n-1),t_(n-1) 〉= [1/w(∆t) ]exp[(im(x_n-x_(n-1) )^2)/2ℏ∆t] که مشاهده می شود با توان موجود در انتشارگرذرۀ آزاد یکی است. برای محاسبۀ ضریب توزین 1/w(∆t) به صورت زیر عمل می کنیم.چون ضریب وزنی مستقّل از V(x) است ، بنابراین می توان آن را با استفاده از مورد ذرۀ آزاد محاسبه کرد. با توجه به خاصیّت تعامد بهنجارش، به معنی تابع δ-، ویژه کت های مکان تصویر هایزنبرگ در زمان های مساوی: (43) به دست می آید. و در حد داریم: (44)1/w(∆t) =√(m/2ℏ∆t). بنابراین در حد ∆t→0 داریم: (46) 〈x_n,t_n |x_(n-1),t_(n-1) 〉=√(m/(2πiℏ ̶∆t)) exp[iS(n,n-1)/2ℏ∆t] و دامنۀ گذار، در حالتی که باشد، داریم: (47) 〈x_N,t_N |x_1,t_1 〉 =lim┬(N=∞)〖(m/(2πiℏ ̶∆t))^((N-1)/2) 〗 ×∫▒〖dx_(N-1) ∫▒〖dx_(N-2)…∫▒〖dx_2 ■(N@II@n=2) exp[iS(n,n-1)/ℏ] 〗〗〗 با تعریف معادلۀ زیر(عملگر انتگرال چند جمله ای) (48) ∫_x1^xN▒〖D[x(t)]≡lim┬(N→∞)〖(m/2πiℏ∆t)^((N-1)/2) ∫▒〖dx_(N-1) 〗 ∫▒〖dx_(N-2) 〗…∫▒〖dx_2 〗〗 〗 معادلۀ (47) به صورت زیر در می آید که به انتگرال مسیر فاینمن معروف است. (49) 〈x_N,t_N |x_1,t_1 〉 ∫_x1^xN▒〖D[x(t)]exp[i∫_t1^tN▒〖dt 〖 L〗_کلاسیک(x.x ̇ ) /ℏ〗].〗 مفهوم جمع بر روی تمام مسیرهای ممکن، از طریق (47) روشن می گردد. برای به دست آوردن معادلۀ(47) از نکاتی از کوانتوم مکانیک استفاده کریم که عبارتند از:(1) برهم نهی (که در جمع کردن سهم مسیرهای مختلف به کار بستیم)، (2) خاصیّت ترکیب دامنۀ گذار و (3) تناظر کلاسیکی در حد . حال می توان با استفاده از معادلۀ شرودینگر وابسته به زمان و رسیدن به آن نتیجه گیری کنیدکه که طبق دستور فاینمن ساخته شده است همان انتشارگر در مکانیک موجی شرودینگر است.لذابا رابطۀ زیر آغاز می کنیم. (50) 〈x_N,t_N |x_1,t_1 〉=∫▒〖dx_(N-1) 〈x_N,t_N ├|x_(N-1),t_(N-1) ┤〉〈├ x_(N-1,N-1) ┤| x_1,t_1 〉 〗 =∫_(-∞)^∞▒〖dx_(N-1) 〗 √(m/2πiℏ∆t) exp[(m/(2ℏ ̶ )) (x_N-x_(N-1) )^2/∆t-iV∆t/ℏ] ×〈x_(N-1),t_(N-1) |x_1,t_1 〉, که در آن t_N 〖-t〗_(N-1) را بینهایت کوچک در نظر گرفته ایم. متغیر جدید (51) ξ=x_(N-) x_(N-1) را معرفی کرده قرار می دهیمt_N→t+∆tوx_N→x، آنگاه (52) 〈x,t+∆t|x_1,t_1 〉=√(m/(2πih ̶∆t)) ∫_(-∞)^∞▒〖dξ exp((imξ^2)/(2h ̶ ∆t)-iVΔt/h ̶ ) 〗 〈├ x-ξ,t┤| x_1,t_1 〉>. همان طور که از (45 ب) دیده می شود، در حد Δt→O، سهم اصلی انتگرال مربوط به ناحیه ξ→O است. بنابراین قابل قبول است که 〈x-ξ,t|x_1,t_1 〉 را بر حسب توان های ξ بسط دهیم. همچین 〈x,t+∆t|x_1,t_1 〉 و را برحسب توان های ∆t بسط می دهیم. بنابراین (53) 〈x,t|x_1,t_1 〉+∆t ∂/∂t 〈x,t|x_1,t_1 〉 =√(m/(2πih ̶∆t)) ∫_(-∞)^∞▒〖dξ exp((imξ^2)/(2h ̶ ∆t))(1-iV∆t/h ̶ +⋯) 〗 ×[〈x,t├|x_1,t_1 ┤〉+(ξ^2/2) ∂^2/〖∂x〗^2 〈├ x,t┤| x_1,t_1 〉+⋯] که در آن جمله های خطی ξ را حذف کرده ایم، زیرا انتگرال نسبت به ξ آن ها صفر می شود. در طرف چپ معادله،با استفاده از ( 45 الف)،با جملۀحدّی طرف راست حذف می شود. با در نظر گرفتن جملاتی که از مرتبۀ اول ∆t هستند؛ به دست می آوریم: (54) ∆t=∂/∂t 〈x,t|x_1,t_1 〉= (√(m/(2πih ̶ ∆t)))(√2π) ((ih ̶ ∆t)/m)^(3/2) 1/2 ∂^2/〖∂x〗^2 〈x,t|x_1,t_1 〉 -(i/h ̶ )∆tV〈x,t|x_1,t_1 〉 که در آن، از رابطۀ زیر استفاده کرده ایم: (55) ∫_(-∞)^∞▒〖dξξ^2 〗 exp((imξ^2)/(2ℏ ̶ ∆t))=√2π ((iℏ ̶ ∆t)/m)^(3/2) این رابطه با مشتق گیری (45 الف) نسبت به ∆t به دست می آید. بدین صورت دیده می شود که در معادله موج وابسته به زمان شرودینگر صدق می کند. (56) iℏ ̶ ∂/∂t 〈x,t ├|x_1,t_1 ┤〉=-(〖iℏ ̶〗^2/2m) ∂^2/〖∂x〗^2 〈├ x,t┤| x_1,t_1 〉+〈x,t|x_1,t_1 〉 بنابراین نتیجه می گیریم که عبارت که با توجه به فرمول فاینمن نوشته شده، همان انتشارگر در مکانیک موجی شرودینگر است. رهیافت فضا-زمانی فاینمن که بر اساس انتگرال مسیر است، برای حل مسائل عملی مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، خیلی مناسب نیست. حتی در مورد نوسانگر همانگ ساده، محاسبه صریح انتگرال مسیر مربوطه قدر مشکل است. به هر حال این رهیافت از نقطه نظر مفهومی بسیارجالب است. با اعمال مجموعۀ معینی از شرایط معقول بر یک نظریه فیزیکی، به صورت اجتناب ناپذیری به فرمولبندی معادلی با فرمولبندی متعارف مکانیک کوانتومی رهنمون شدیم. این مسئله موجب شگفتی ماست که آیااصولاً امکان دارد که نظریه معقول دیگری ساخت که پدیده های میکروسکوپی را به صورت موفقیت آمیزی توضیح دهید؟ روش های مبتنی بر انتگرال مسیر، در شاخه های دیگر فیزیک نوین نظیر نظریۀمیدان های کوانتومی و مکانیک آماری بسیار مفید و قدرتمند هستند. در این کتاب بار دیگر در بحث اثر آهارانف-بوهم، روش انتگرال مسیر مورد استفاده قرار خواهد گرفت. پتانسیل های ثابت و تبدیلات پیمانه ای پتانسیل های ثابت اضافه کردن پتانسیل ثابت ؛ ؛ که هم در فضا و زمان ثابت است در محاسبات مکانیک کلاسیک بی تأثیر است.می خواهیم ببینیم وضع در مکانیک کوانتومی به چه صورتی می باشد.همانطور که می دانیم در مکانیک کلاسیک نقطه صفر انرژی پتانسیل اهمیت فیزیکی ندارد. تحوّل فیزیی کمیّات دینامیکی، نظیر (t)x و (t)L، مستقل از آنست که از پتانسیل و یا استفاده کنیم، وقتی که نسبت به مکان و زمان ثابت باشد. نیرویی که در قانون دوم نیوتن ظاهر می شود، تنها به گرادیان پتانسیل بستگی دارد و به وضوح افزودن یک ثابت، بی اهمیت است. با فرض آن که پتانسیل به صورت زیر باشد. (1) با توجه به این که در هردو کت بر منطبق باشد و کت حالت در حضور و کت حالت مناسب برای پتانسیل بیان شده با معادلۀ(1) باشد و با توجه به این که کت حالت در با اثر عملگر تحول زمانی روی کت حالت در می تواند به دست آید ؛ داریم: |├ (α,t_0;t) ̃ ⟩┤=exp[-i(p^2/2m+V(x)+V_0 )]|├ α⟩┤ (2) =exp[(-iV_0 (t-t_0))/ℏ] exp|α ,t_0 ┤ ├ ;t⟩ به عبارت دیگر،بستگی زمانی کتی که تحت تأثیرV ̃محاسبه شده است فقط درضریب فازexp=[-iV(t-t_0 )/ℏ] اختلاف دارد.برای حالت ایستا این بدان معنا است که اگر بستگی زمانی که با محاسبه می شود exp=[-iE(t-t_0 )/ℏ] باشد، آن وقت بستگی زمانی مربوط به برابرexp=[-i(E+V_0 )(t-t_0 )/ℏ] است. به عبارت دیگر، استفاده از V ̃ به جای V، منجر به تغییر زیر می شود. (3) E→E+V_(0 ) بنابراین می بینیم که به طور کلی اگر هر کت حالتی در یک ضریب مشترک exp[-iV(t-t_0 )/ℏ] ضرب شود.هیچ اختلافی درمقادیر چشمداشتی مشاهده پذیرها به وجود نمی آید. در این جا برای روشن شدن مسله ؛ دسته ای از تبدیلات که معروف به تبدیلات پیمانه ای هستند را مورد بررسی قرار می دهیم.باانتخاب انرژی پتانسیل به صورت زیر شروع می کنیم. (4) V(x)→V(x)+V_0 که باید با تغییر ی درکت حالت همراه باشد. (5) |α ,t_0 ┤ ├ ;t⟩→exp[(-iV_0 (t-t_0 ))/(h̶)]|α ,t_0 ┤ ├ ;t⟩ و تغییر زیر رادر تابع موج به همراه دارد. (6) ψ(x^̷ ,t)→exp[(-iV_0 (t-t_0 ))/(h̶)]ψ(x^̷ ,t) حال با فرض این که V_0 ازلحاظ فضایی یکنواخت بوده ولی تابع زمان باشد. ؛ داریم: (7) |α ,t_0 ┤ ├ ;t⟩→exp[-i∫_(t_0)^t▒〖dt^̷ 〗 (V_0 (t^̷))/(h̶)]|α ,t_0 ┤ ├ ;t⟩ از نظر فیزیکی، استفاده از به جای V(x) بدین معنی است که در هر لحظه زمانی یک نقطه صفر جدید برای مقیاس انرژی انتخاب کنیم و می تواند یک اثر تداخلی قابل ملاحظه ای را هم از آن انتظار داشت(شکل4). مطابق شکل(4) جمله تداخلی قابل مشاهده ای در شدت باریکه در ناحیه تداخل، از نوع (8) cos〖(ϕ_1-ϕ_2 ), sin(ϕ_1-ϕ_2 ),〗 وجود دارد که (9) ϕ_1-ϕ_2=(1/ℏ) ∫_(t_i)^(t_f)▒dt[V_2 (t)-V_1 (t)] است. بنابراین صرف نظر از این حقیقت که ذرّات هیچ نیرویی وارد نمی شود، اثر قابل مشاهده ای که بستگی به اعمال کردن V_2 (t)-V_1 (t) دارد وجود خواهد داشت. توجه کنید که این اثر کاملاً کوانتومی است؛ در حدّ ، اثر جالب تداخلی از بین می رود زیرا نوسانات کسینوس به طور نامحدودی سریع می شوند. شکل4:تداخل کوانتومی برای آشکارسازی اختلاف پتانسیل گرانش در مکانیک کوانتومی آزمایشی وجود دارد که به صورت ظریفی چگونگی بروز آثارگرانشی در مکانیک کوانتومی را نشان می دهد. قبل از توصیف آن، قدری در مورد نقش گرانش در مکانیک کلاسیک و کوانتومی صحبت می کنیم.معادلۀ کلاسیک حرکت جسمی که درحال سقوط است به صورت زیراست. (10) mX ̈=-m∇ϕ_grav=-mg(z.) ̂ در کلاسیک به دلیل یکسان گرفتن جرم گرانشی و اینرسی؛ جرم از طرفین معادله حذف می شود اما در مکانیک کوانتومی به صورت ترکیب ℏ/m ظاهر می شود و جرم حذف نمی شودو معادلۀ این جسم در مکانیک کوانتومی به صورت زیر در می آید. (11) [-((ℏ^2 ) ̶/2m) ∇^2+mϕ_grav ]ψ=iℏ ∂ψ/∂t بنابراین در مسئله ای که ℏ وجود دارد، انتظار می شود که m هم ظاهر شود. حال با توجه به انتگرال مسیر فاینمن برای جسم در حال سقوط داریم: (12) 〈x_n,t_n |x_(n-1),t_(n-1) 〉=√(m/(2πih ̶ ∆t)) exp[i ∫_(t_(n-1))^(t_n)▒〖dt ((1/2 mx ̇^2-mgz))/h ̶ 〗], (t_n-t_(n-1)=∆t→0). در این جا هم m به صورت ترکیبm⁄ℏ ظاهر می شود و با رهیافت کلاسیکی هامیلتونی که بر اساس (13) δ∫_(t_1)^(t_2)▒〖dt((mx ̇^2)/2-mgz)=0,〗 است تفاوت دارد زیرا جرم از هردوطرف حذف می شود. باشروع ازمعادلۀ شرودینگر (11) ، قضیۀ اهرنفست به صورت زیر به دست می آید. (14) d^2/(dt^2 ) 〈x〉=-gz ̂. که در این جا نیز می بینیم که نه ℏ، ونه m ظاهر شده است(مکانیک کوانتومی) .دلیل آن توسط آزمایش معروف وزن فوتون بررسی شد. تا سال 1975، هیچ آزمایش مستقیمی برای اثبات وجود جملۀ mϕ_gav در (11) انجام نشد. به عنوان نمونه سقوط آزاد ذره ای بنیادی مشاهده شد، اما برای توضیح آن، معادلۀ کلاسیک حرکت؛و یا قضیۀ اهرنفست، (14)، که در آن ℏ ظاهر نمی شود؛کافی بود. همچنین آزمایش مشهور "وزن فوتون" که توسط و.پاوند و همکاران انجام شد، نمی توانست آزمونی برای گرانش در محدودۀ کوانتومی باشد زیرا آن ها جابجائی بسامد را اندازه گیری کردند که در آن ℏ صریحاً ظاهر نمی شود. چون نیروهای گرانشی خیلی ضعیف هستند در مقیاس میکروسکوپی ؛ به سادگی مشاهده نمی شوند.اما می توان آثار گرانشی را در کوانتوم با آزمایش تداخل سنجی آشکار کرد. لذا برای فهم مشکلاتی که در مشاهده گرانش در مسائل حالت های مقید وجود دارد، حالت پایه یک الکترون و یک نوترون مقیّد شده به سبب نیروی گرانش را در نظر می گیریم. این مسئله، مشابه گرانشی اتم هیدروژن است که در آن یک الکترون و یک پروتون به خاطر نیروی کولنی مقیّد شده اند. در یک فاصلۀ یکسان، نیروی گرانشی بین یک الکترون و یک نوترون در حدود بار ضعیف تر از نیروی کولنی بین یک الکترون و یک پروتون است. شعاع بوهر این مسئله، به سادگی قابل محاسبه است. (15) a=h ̶^2/(e^2 m_e )→h ̶^2/(G_N m_e^2 m_n ) که در آن G_N ثابت گرانشی نیوتن است. اگر در این رابطه مقادیر عددی کمیّات را قرار دهیم، شعاع بوهر این سیستم مقیّد گرانشی در حدود 〖10〗^31 cm و یا 〖10〗^13 سال نوری می شود، که به اندازۀ چند مرتبه بزرگی از شعاعی که برای عالم حدس زده می شود، بزرگتر است! تداخل کوانتومی القاء شده توسط گرانش در این آزمایش ؛ باریکه ای از ذرات تقریباً هم انرژی ؛نوترون های حرارتی؛را به دو قسمت جدا کرده واز دو مسیر متفاوت عبور داده(شکل(5)) وبه هم می رسانیم. چون اندازۀ بستۀ موج، بسیار کوچکتر از ابعاد ماکروسکوپی مسیر است می توان از مفهوم مسیر کلاسیکی استفاده نمود. با فرض این که در ابتدا دو مسیر A→B→D و مسیر A→C→D در صفحۀ افقی باشند. اگر تمام پدیده ها در صفحۀ افقی باشند همه از نظر پتانسیل گرانشی هم سطح بوده و می توان V=0 را انتخاب کرد یابه عبارت دیگر ااز گرانش صرف نظر کرد. اما اگر صفحۀ تشکیل شده از دو مسیر را به اندازۀ زاویۀ δ حول محور AC دوران دهیم؛ مسئله کاملاً متفاوت می شود. حالا پتانسیل در سطح BD به اندازه mgl_2 sinδ از پتانسیل در سطح AC بزرگتر است، یعنی کت متناظر با مسیر BD "سریعتر می چرخد" و این مسأله باعث اختلاف فازی به اندازۀ رابطۀ(16) می شود. البته در امتداد AB و CD هم تغییر فاز حاصل از گرانش ایجاد می شود، اما چون دو مسیر را با یکدیگر مقایسه می کنیم، اثر این تغییر فازها حذف می شوند. شکل5:آزمایش برای نمایش آشکار سازی تداخل کوانتومی القاشده شده توسط گرانش (16) exp[(-im_n gl_2 sinδT)/ℏ] در این رابطه T زمان رسیدن بسته موج از B به D (و یا از A به C)است و m_n جرم نوترون است. می توان این اختلاف فاز را به دوران صفحه شکل(5) کنترل نمود، می تواند تا π/2 و یا از 0 تا -π/2 تغییر کند. با نوشتن زمان طی شدۀ T، یا l_1/v_(موج بسته)، بر حسب طول موج دوبروی نوترون،ƛ، عبارت زیر را برای اختلاف فاز به دست می آوریم. (17) ϕ_ABD-ϕ_ACD=-((m_n^2 gl_1 l_2 ƛsinδ))/ℏ ̶^2 بنابراین یک اثرتداخلی وابسته به زاویۀ پیش بینی می شود که از نظر عددی مقداری نه خیلی کوچک و نه خیلی بزرگ دارد و این یک اثر کوانتومی محض است ودر حد ثابت دیراک به سمت صفر میل کند نقش تداخلی از بین می رود و در سطح کوانتومی گرانش کاملاً هندسی نیست چون به〖(m/ℏ)〗^2 بستگی دارد.کردیم. هم چنین این رابطه یاد آور فریزهای تداخل سنج های از نوع مایکلسن دراپتیک است. به روش دیگری هم می توان معادلۀ(17) را به دست آورد، که این روش بیش از روش قبل بر اساس مفاهیم مکانیک موجی است. از آن جا که با پتانسیل مستقل از زمان سروکار داریم، مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل ثابت هستند؛ لذا می توان نوشت: (18) p^2/2m+mgz=E. اختلاف ارتفاع سطح B D با سطح A C موجب قدری اختلاف در p یا ƛمی گردد. در نتیجه، اختلاف فازها، به سبب اختلاف ƛ، جمع می شوند (و اختلاف فاز نهایی زیاد می شود).علاوه براین نیزمی توان نشان داد که این رهیافت مکانیک موجی هم به نتیجه (17) می انجامد.نتایج آزمایش مربوط به سال 1975 در شکل (6) نشان داده شده است. شکل6:نمایش تابعیت فاز اشغال شده برحسب تأکید می کنیم که این اثر، کوانتومی محض است زیرا وقتی ℏ→0، نقش تداخلی از بین می رود.نشان داده شد که پتانسیل گرانشی، به همان صورت مورد انتظار در معادلۀ شرودینگر وارد می شود. همچنین این آزمایش نشان داد که در سطح کوانتومی، گرانش کاملاً هندسی نیست زیرا این اثر به 〖(m/ℏ)〗^2بستگی دارد. جلسۀ شنبه17/12/98 تبدیلات پیمانه ای در الکترومغناطیس در این جا به پتانسیل هایی که در الکترومغناطیس ظاهر می شوند می پردازیم. میدان های الکتریکی و مغناطیسی را در نظر می گیریم که از پتانسیل های نرده ای و برداری مستقل از زمان ϕ(x) و A(x) به دست می آیند. (19) E=-∇ϕ, B=∇×A. در فیزیک کلاسیک هامیلتونی ذره ای با بارالکتریکی (e<0) e که تحت تأثیر میدان الکترومغناطیسی قرار دارد، عبارت است از: (20) H=1/2m (-eA/c p)^2+e∅. فرض می کنیم که در مکانیک کوانتومی ϕ و A تابعی از عملگر مکان x ذره باردار هستند.چون که A و p جابه جا نمی شوند به دلیل این که آن ها عملگرند ؛لذا جملۀ (p-eA/c)^2 در معادلۀ(20)به صورت زیر نوشته می شود. (21) (p-eA/c)^2→p^2-(e/c)(p. A+A. p)+(e/c)^2 A^2. واضح است که دراین شکل، هامیلتونی هرمیتی است. برای مطالعه دینامیک ذرّه باردار تحت اثر ϕ و A، ابتدا در تصویر هایزنبرگ کار می کنیم. می توانیم مشتق زمانی x را به صورت سرراست حساب کنیم. (22) (dx_i)/dt=[x_i,H]/(iℏ ̶ )=((p_i-eA_i/c))/m, که نشان می دهد عملگر p، که به عنوان موّلد انتقال تعریف شده، با m dx/ dt متفاوت است. اغلب p را اندازه حرکت کانونی می نامند تا از اندازه حرکت سینماتیکی(یا اندازه حرکت مکانیکی) که با Π نشان می دهیم، تمیز داده شود. (23) Π≡m dx/dt=p-eA/c برای اندازه حرکت کانونی نیز داریم: (24) [p_i,p_j ]=0 که جابه جاگر مشابه برای اندازه حرکت مکانیکی صفر می شود در عوض داریم: (25) [Π_i,Π_j]=((ih ̶e)/c) ε_ijk B_k, با بازنویسی هامیلتونی به صورت زیر (26) H=Π^2/2m+eϕ و استفاده از روابط جابه جایی اصلی، شکل کوانتومی نیروی لورنتس داده می شودبا: (27) m (d^2 x)/〖dt〗^2 =dΠ/dt e[E+1/2c (dx/dt×B-B×dx/dt)]. این رابطه،قضیۀ اهرنفست برای ذره باردار در حضور میدان های الکتریکی و مغناطیسی است که در تصویر هایزنبرگ نوشته شده است. حال معادلۀ موج شرودینگر با A و ϕ را مطالعه می کنیم. ابتدا H را بین⟨├ x'┤|┤ و |├ α,t_0;t⟩┤قرار می دهیم. تنها جمله ای که باید در آن دقت کنیم عبارت است از: (28) 〈├ x^̷ ┤| [p-(eA(x))/e]^2 ├|α,t_0؛t┤〉 =[-ih ̶∇'-(eA(x))/c]〈├ x'┤|[(eA(x))/c]├|α,t_0؛t┤〉 =[-ih ̶∇'-(eA(x^̷))/c].[-ih ̶∇'-(eA(x^̷))/c]〈├ x^̷ ┤|α,t_0؛t〉 تأکید این نکته اهمیت دارد که اولین ∇^' در خط آخر رابطه بالا، از هر دو کیفیت 〈x^̷ |a,t_0؛t〉 و A(x) مشتق گیری می کند. با جمع بندی همه این نکات خواهیم داشت: (29) 1/2m [-ih ̶∇'-(eA(x^̷))/c].[-ih ̶∇'-(eA(x^̷))/c]〈├ x^̷ ┤|α,t_0؛t〉 +e ϕ(x^̷ )〈├ x^̷ ┤|α,t_0؛t〉=ih ̶ ∂/∂t 〈├ x^̷ ┤|α,t_0؛t〉 معادلۀ پیوستگی به صورت زیر از رابطۀ بالا به دست می آید: (30) ∂/∂t+∇'.j=0, که در آن وقتی 〈x^̷ |a,t_0؛t〉 را |ψ|^2 است، وقتی ولی برای شار احتمال j داریم: (31) j=(h ̶/m)Im(ψ^* 〖 ∇〗^' ψ)=(e/mc)A|ψ|^2 که دقیقاً به همان شکلی است که از تبدیل زیر هم انتظار می رود. (32) 〖 ∇〗^'→〖 ∇〗^'-(ie/(h ̶c))A. اگر تابع موج به صورت √p exp(iS/ℏ)، باشد می توان شکل دیگری برای j به دست آورد. (33) j=(p/m)(∇S-eA/c), می توان نشان داد که چنین شکلی برای مباحث ابررسانایی و کوانتش شار مفید است. همچنین توجه کنیم که انتگرال فضایی j، صرف نظر از 1/m، برابر مقدار چشمداشتی اندازه حرکت سینماتیک(و نه اندازه حرکت کانونیک) است. (2-6-34) ∫▒〖d^3 x^̷ 〗 j=〈p-eA/c〉/m=〈Π〉/m حال تبدیلات پیمانه ای را در الکترومغناطیس مورد بحث قرار می دهیم. ابتدا تبدیل زیر را در نظر می گیریم. (35) ϕ→ϕ+λ, A→A که در آن λ ثابت است، یعنی مستقل از x و t، است .در این حالت E و B بدون تغییر می مانند؛ که این تبدیل معادل تغییر نقطۀ صفر مقیاس انرژی است، که قبلاً هم مورد بررسی قرار گرفت، فقط eϕ جانشین V شده است. حال تبدیل زیر را درنظر می گیریم: (36) ϕ→ϕ, A→A+∇Λ. که Λ تابعی از x است. میدان های ایستای الکترومغناطیسی E و B تحت تبدیل بیان شده با رابطۀ(36) تغییر نمی کنند. روابط (35) و (36) حالت خاصی از تبدیلات زیر هستند. (37) ϕ→ϕ-1/c ∂Λ/∂t, A→A+∇Λ. که میدان های E و B را که به صورت زیر داده می شوند: (38) E=-∇ϕ-1/c ∂Λ/∂t, B=∇×A, تغییر نمی دهند، اما در این جا میدان ها و پتانسیل های وابسته به زمان را در نظر نمی گیریم. در ادامه، منظور از تبدیل پیمانه ای، رابطه (36) است. در فیزیک کلاسیک، آثار قابل مشاهده مثل مسیر ذرات باردار، مستقل از پیمانۀ مورد استفاده است یعنی مستقل از انتخاب معینی برای Λ است. اما در کوانتوم چگونه؟ اکنون با درنظر گرفتن ذرۀ بارداری در حضور میدان مغناطیسی یکنواختی که در امتداد z است، آن را مورد بررسی قرار می دهیم. (39) B=Bz ̂ این میدان مغناطیسی را می توان از (40) A_x=(-By)/2, A_y=Bx/2,〖 A〗_z=0 و همچنین (41) A_x=-By, A_y=0, A_z=0 به دست آورد. شکل دوّمی به صورت زیر از اولی به دست می آید. (42) A→A-∇(Bxy/2), که در واقع به شکل (36) است. بدون توجه به این که از کدام یک از A ها استفاده کنیم، مسیر یکی است و یک مارپیچ است؛ که وقتی درصفحۀ xy تصویر می شود یک حرکت دایره ای یکنواخت به اضافۀ یک حرکت مستقیم الخط یکنواخت در امتداد z می باشد. ولی اگر به p_x و p_y توجه کنیم، نتایج بسیار متفاوت است. زیرا وقتی از روابط(41) استفاده کنیم p_xثابت حرکت است، اما در حالتی که از روابط(40) استفاده شود، این چنین نیست. با یادآوری معادلات حرکت هامیلتونی (43) (dp_x)/dt=∂H/ax, (dp_y)/dt=-∂H/ay,… به طورکلّی ، اندازه حرکت کانونیک pیک کمیت ناوردای پیمانه ای نیست، یعنی مقدار عددی آن، حتّی هنگامی که با یک موقعیّت فیزیکی یکسان کار می کنیم، بستگی به پیمانۀ خاص مورد استفاده دارد. اما بر خلاف آن، اندازه حرکت سینماتیکΠ،یا mdx/dt، که مسیر ذره را دنبال می کندیک کمیت ناوردای پیمانه ای است، که می توان آن راصریحاً ثابت نمود. چون p و mdx/dt از طریق رابطۀ (23) به هم مربوطند، برای جبران تغییرات A در (42) لازم است که p هم تغییر کند. اما درمکانیک کوانتومی معتقدیم که مقادیر چشمداشتی تحت تبدیلات پیمانه ای،مشابه به کمیات کلاسیک متناظرشان رفتار می کنند. بنابر این 〈x〉 و 〈Π〉 تحت تبدیلات پیمانه ای ثابت می مانند، در حالی که 〈p〉 تحت تبدیلات پیمانه ای غییر کند. کت حالت در حضور A را با |├ α⟩┤نشان می دهیم، اما برای موقعیت فیزیکی یکسان، وقتی از (44) A ̃=A+∇Λ به جای A استفاده می شود، کت حالت را با |├ α ̃ ⟩┤ نشان می دهیم که Λ، تابعی از عملگر مکان است. شرایط اساسی و بنیادی عبارتند از: (45الف) 〈α|x|α〉=〈α ̃|x| α ̃ 〉 و (45ب) 〈α|(p-eA/c)|α〉=〈α ̃|(p-(eA ̃)/c)| α ̃ 〉. همچنین طبق معمول، باید هنجار (نرم) کت حالت حفظ شود. (46) ⟨α│α⟩=⟨α ̃│α ̃ ⟩ لازم است عملگر Yرا به گونه ای بسازیم که |├ α⟩┤ را به ├ ⟨α ̃ ┤┤| مربوط کند. (47) |├ α ̃ ⟩┤= Y|├ α⟩┤. ویژگی های ناوردایی (45الف) و (45ب)برآورده می شوند، اگر (48الف) Y^† x Y=x و (48ب) Y^† (p-eA/c-e∇Λ/c)x Y=p-eA/c ادّعا می کنیم که (-49) Y=exp[ieΛ(x)/(h ̶c)] این کار را انجام می دهد. اولاًY یکانی است، پس (46) برقرار است. ثانیاً (48الف) به وضوح برقرار است زیرا x با هر تابعی از x جابه جا می شود. همچنین در مورد (48ب) توجه کنید که (50) Exp((-ieΛ)/(h ̶c))p exp(ieΛ/(h ̶c))=exp((-ieΛ)/(h ̶c))[p,exp(ieΛ/(h ̶c))]+p =-exp((-ieΛ)/(h ̶c))ih ̶∇[exp(ieΛ/(h ̶c))]+p =p+ieΛ/c, که در آن از (23ب) استفاده کرده ایم. ناوردایی مکانیک کوانتومی تحت تبدیلات پیمانه ای را می توان با مطالعۀ مستقیم معادلۀ شرودینگر هم نشان داد،با فرض این که |├ α,t_0؛t⟩┤ جواب معادلۀشرودینگر در حضور A باشد، داریم. (51) [(p-eA/c)^2/2m+eϕ]|├ α,t_0؛t⟩=iℏ ∂/∂t|├ α,t_0؛t⟩. جواب متناظر در حضور A ̃، باید در معادلۀزیر صدق کند. (52) [(p-eA/c-e∇Λ/c)^2/2m+eϕ] (├|├ α,t_0؛t⟩┤ ) ̃=iℏ ∂/∂t (├ ├|α,t_0؛t┤⟩ ) ̃. با انتخاب (53) (├ ├|α,t_0؛t┤⟩ ) ̃=exp(ieΛ/ℏc)├ ├|α,t_0؛t┤⟩ آنگاه معادلۀ شرودینگر (52) برآورده می شود. تنها نکتۀ قابل توجه آن است که (54) exp((-ieΛ)/ℏc) (p-eA/c-e∇Λ/c)^2 exp(ieΛ/ℏc)=(p-eA/c)^2 رابطۀ(53) همچنین نشان می دهد که توابع موج متناظر به صورت زیر به هم مربوطند. (55) ψ ̃(x^̷ ,t)=exp[(ieΛ(x' ))/ℏc]ψ(x^̷ ,t), که حالاΛ(x')تابعی حقیقی از ویژه مقدار بردار مکان x'است. این را می توان به طور مستقیم با جای گذاری(55) در معادلۀ موج شرودینگری که A باA+∇Λ عوض شده؛نشان داد. برحسب p و S، می بینیم که p تغییری نمی کند ولی S به صورت زیر تغییر می کند. (56) S→S+eΛ/c بنابراین مشاهده می شود که شار احتمال تحت تبدیلات پیمانه ای ناوردا است. به طور خلاصه، وقتی برای یک موقعیت فیزیکی یکسان، پتانسیل های برداری در پیمانه های مختلف استفاده شود، لزوما کت های حالت (یا توابع موج) متناظر با آن ها متفاوت هستند. البته فقط تغییر ساده ای مورد نیاز است؛ فقط با ضرب کردن کت های (توابع موج) قدیمی در (exp[ieΛ(x')/h ̶c])exp[ieΛ(x)/h ̶c] می توان از پیمانه معیّنی که با A مشخص می شود به پیمانه دیگری که با A+eΛ مشخص می شود رفت. اندازه حرکت کانونیک، که به عنوان موّلد انتقال تعریف می شود، از نظر آن که مقدار چشمداشتی آن به انتخاب پیمانه بستگی دارد، آشکاراپیمانه وابسته است،درحالی که اندازه حرکت سینماتیکوشاراحتمال پیمانه ناوردا هستند. شاید سؤال این باشد که چرا ناوردایی تحت معادلۀ(49) را ناوردایی پیمانه ای می نامند. با درنظر گرفتن تابعی مانند F(x) که تابعی از مکان در نقطۀ x است در همسایگی این نقطه داریم: (57) F(x+dx)≃F(x)+(∇F).dx حال فرض کنید همراه با رفتن از x به x+dx، تغییر مقیاس زیر را انجام دهیم. (58) 〖1|〗_(در x)→[1+Σ(x).dx] |_(x+dxدر.) بنابراین باید F(x) را به صورت زیر تغییر مقیاس دهیم (به جای (57)): (59) 〖F(x+dx)|〗_(یافته مقیاستغییر)≃F(x)+[(∇+Σ)F].dx ترکیب ∇+Σ، مشابه ترکیب پیمانه ناوردای (60)∇-(ie/ℏc)A در (32) است، البته بدون i. در تشابه با مکانیک کوانتومی با معادلۀ (58) داریم: (61)〖1|〗_(در x)→[1+(ie/(h ̶c))A.dx] |_(x+dxدر.) واقعاً متناظر با "تغییر فاز" است و نه" تغییر مقیاس". اثر آهارونف- بوهم استفاده از پتانسیل برداری در مکانیک کوانتومی نتایجی بسیار مهم دارد، که در این جا برخی از آن ها را مورد بحث قرار می دهیم. یک پوستۀ استوانه ای سوراخدار، که در شکل (7الف) نشان داده شده است را در نظر بگیرید. فرض می کنیم ذره ای با بار e می تواند به طور کامل در داخل این پوستۀ با دیواره های صلیب، محصور شود. باید تابع موج روی دیواره های داخلی (ρ=ρ_a) و خارجی (ρ=ρ_b) و نیز در بالا و پایین صفر باشد. در ریاضی فیزیک، این یک مسئله با مقادیر مرزی سرراست است و می توان ویژه مقادیر انرژی را به دست آورد. حال همانطور که در شکل (7ب) نشان داده شده، با در نظر گرفتن حالتی که پوستۀ استوانه ای میدان مغناطیسی یکنواختی را در برگرفته، آرایش مسئله را قدری تغییر می دهیم. به طور مشخصمی توانید تصوّر کنید که یک سیملولۀ بسیار بلند را به گونه ای در وسط سوراخ قرار داده ایم که هیچ میدان مغناطیسی ای به نام ناحیه ρ>ρ_a نفوذ نمی کند. شرایط مرزی تابع موج مانند قبل است، زیرا هنوز دیواره ها صلب در نظر گرفته شده اند. به صورت شهودی می توان حدس زد که طیف انرژی تغییر نمی کند، زیرا ناحیه با B≠0 برای ذرۀ بارداری که داخل پوسته حرکت می کند کاملاً غیر قابل دسترس است. اما مکانیک کوانتومی به ما می گوید که این حدس درست نیست. (الف) (ب) شکل7: پوستۀ استوانۀ سوراخ دار (الف) بدون میدان مغناطیسی؛(ب) با یک میدان مغناطیسی یکنواخت اگرچه در داخل پوسته میدان مغناطیسی صفر است، اما پتانسیل برداری A غیر صفر است؛ می توان با استفاده از قضیۀ استوکس به دست آورد که پتانسیل برداری مورد نیاز برای تولید میدان مغناطیسی (Bz ̂=)B برابر است با: (62) A=(〖Bρ_a〗^2/2ρ) ϕ ̂, که در آن ϕ ̂ بردار واحد در جهت افزایش زاویه ای سمتی است. برای حل معادله شرودینگر و یافتن ویژه مقادیر انرژی در این حالت، تنها لازم است که گرادیان ∇ با ∇-(ie/h ̶c)A جایگزین شود واین در مختصات استوانه ای، به صورت زیر انجام می گیرد. (63) ∂/∂ϕ→∂/∂ϕ-(ie/(h ̶c)) 〖Bρ_a〗^2/2؛ یادآوری می کنیم که عبارت گرادیان در مختصات استوانه ای به صورت زیر است: (64) ∇=ρ ̂ ∂/∂ρ+z ̂ ∂/∂z+ϕ ̂ 1/ρ ∂/∂ϕ. تعویض (63)، تغییر قابل مشاهده ای در طیف انرژی ایجاد می کند، همانطور که خواننده می تواند آن را صریحاً حساب کند. این نتیجه ای کاملاً قابل توّجه است؛ زیرا ذره هیچ گونه تماسی با میدان مغناطیسی ندارد، نیروی لورنتسی که در این مسئله به ذره وارد می آید برابر صفر است، ولی سطوح انرژی به این امر بستگی دارد که میدان مغناطیسی در ناحیه حفره که غیر قابل دسترس ذره است، وجود داشته باشد یا خیر. مسئله ای که در اینجا مورد بررسی قرار گرفت نوع حالت مقید مسئله ای است که معمولاً تحت عنون اثر آهارونف-بوهم نامیده می شود. حال در موقعیتی هستیم که به مسئله اصلی، یعنی اثر آهارونف- بوهم بپردازیم. ذره ای با بار e را در نظر بگیرید که از بالا یا پایین استوانۀ غیر قابل نفوذ بسیار بلندی عبور می کند، شکل (8). داخل استوانه، میدان مغناطیسی ای به موازات محور استوانه و عمود بر صفحۀ شکل (8) وجود دارد. بنابراین مسیرهای بالایی و پائینی ذره، یک شار مغناطیسی را در بر می گیرند. هدف ما بررسی این موضوع است که چگونه احتمال یافتن ذره در ناحیۀ تداخل B، به این شار بستگی دارد. اگرچه این مسئله با مقایسۀ حل های معادلۀ شرودینگر در حضور و غیاب B قابل حل است، در این جا از روش انتگرال مسیر فاینمن استفاده می کنیم. فرض کنید x_1 و x_N نقاط نمونه ای، به ترتیب در ناحیۀ چشمه A و ناحیۀ تداخل B، باشند. از مکانیک کلاسیک یادآوری می کنیم که لاگرانژی در حضور میدان مغناطیسی را می توان به صورت زیر از لاگرانژی در غیاب میدان مغناطیسی، که با L_کلاسیک^((0)) نشان می دهیم، به دست آورد. (65) 〖L_کلاسیک^ 〗^((0))=m/2 (dx/dt)→〖L_کلاسیک^ 〗^((0))+e/c dx/dt.A تغییر مربوط در کنش، برای یک تکّه معّین از مسیر که از (x_(n-1),t_(n-1)) به (x_n,t_n) می رود عبارت است از: (66) S^((0)) (n,n-1)→S^((0)) (n,n-1)+e/c ∫_(t_(n-1))^(t_n)▒dt (dx/dt).A. اما این انتگرال آخر را می توان به صورت زیر نوشت: (67) e/c ∫_(t_(n-1))^(t_n)▒dt (dx/dt).A=e/c ∫_(x_(n-1))^(x_n)▒〖A.ds, 〗 که در آن ds دیفرانسیل عنصر خطی در امتداد تکّه مسیر است. بنابراین هنگامی که کل این تغییر را برای رفتن از x_i تا x_N بخواهیم، باید تغییر زیر را انجام دهیم. (68) Πexp[(iS^((0)) (n,n-1))/h ̶ ]→{Πexp[(iS^((0)) (n,n-1))/h ̶ ]}exp(ie/(h ̶c) ∫_(x_(n-1))^(x_n)▒〖A.ds〗). تمام این ها هنوز برای یک مسیر معّین است، نظیر مسیری که از بالای استوانه می گذرد. هنوز باید روی همۀ مسیرهای ممکن جمع زد، که ممکن است کار سختی به نظر برسد. ولی خوشبختانه از نظریه الکترومغناطیس می دانیم که انتگرال خطی ∫▒〖A.ds〗 مستقل از مسیر است، یعنی تنها به نقاط انتهایی بستگی دارد، البته تا وقتی که حلقه ای که توسط دو مسیر مختلف ساخته می شود، شار مغناطیسی ای را در نگیرد. بنابراین سهم مربوط به A≠0 تمام مسیرهایی که از بالای استوانه عبور می کند، با یک ضریب فاز مشترک داده می شود. شکل 8: اثر آهارونف- بوهم و به همین صورت سهم همۀ مسیرهایی که از پائین استوانه می گذرند، به صورت یک ضریب فاز مشترک دیگر،ضرب می شود.در نمادگذاری انتگرال مسیری، برای کلّ دامنه گذار خواهیم داشت( برای کل مسیر داریم): (69) ∫_بالا▒〖D[x(t)]exp[(iS^((0)) (N,1))/ℏ]+∫_پایین▒〖D[x(t)] exp[(iS^((0)) (N,1))/ℏ] 〗〗 →∫_بالا▒D[x(t)]exp[(iS^((0)) (N,1))/ℏ]{exp[(ie/ℏc) ∫_(x_1)^(x_N)▒〖A.ds 〗]_بالا } +∫_پایین▒D[x(t)]exp[(iS^((0)) (N,1))/ℏ]{exp[(ie/ℏc) ∫_(x_1)^(x_N)▒〖A.ds 〗]_پایین } احتمال یافتن ذره در ناحیۀ تداخل B بستگی به مربع اندازۀ کل دامنه گذار و بنابراین بستگی به اختلاف بین سهم مسیرهای بالا و پایین دارد. بنابراین اختلاف فاز حاصل از حضور B برابر می شود با: (70) [(e/ℏc) ∫_(x_1)^(x_N)▒〖A.ds 〗]_بالا-[(e/ℏc) ∫_(x_1)^(x_N)▒〖A.ds 〗]_پایین=(e/ℏc) ∮▒A.ds=(e/ℏc) Φ_B, که در آن Φ_B معرف شار مغناطیسی داخل استوانه غیر قابل نفوذ است. یعنی آن که با تغییر شدت میدان مغناطیسی، مؤلفه ای سینوسی در احتمال مشاهدۀ ذره در ناحیه B وجود خواهد داشت، با دورۀ تناوبی که با واحد بنیادی شار مغناطیسی داده می شود: (71) (2πh ̶c)/|e| =4.135×〖10〗^(-7) Gauss-〖cm〗^2. لازم به توضیح است که اثر تداخلی موردبررسی در اینجا، کوانتومی محض است. در حالت کلاسیک حرکت ذره باردار منحصراً توسط قانون دوم نیوتن، به اضافه قانون نیروی لورنتس، تعیین می شود. در اینجا، مانند مسئله حالت مقیّد قبلی، هیچگاه ذره به ناحیه ای که در آن B معیّن است وارد نمی شود؛ نیروی لورنتس در تمام نواحی ای که تابع موج ذرّه معین است، صفر است. امّا هنوز نقش تداخلی ای وجود دارد که بستگی به حضور و یا عدم حضور میدان مغناطیسی در داخل استوانه غیر قابل نفوذ دارد. این نکته برخی را به این نتیجه گیری رسانده که در مکانیک کوانتومی، این A است که بنیادی است و نه B. البته باید متذکر شد که در هر دو مثال، آثار مشاهده پذیر تنها به Φ_B بستگی دارد که مستقیماً بر حسب B قابل بیان است. در آزمایشهائی برای تأئید اثر آهارونف-بوهم انجام شده است، از یک رشته آهن مغناطیسی فرچه ای استفاده شده است. تک قطب مغناطیسی این بخش را بحثی در مورد یکی از قابل توجّه ترین پیش¬بینیهای مکانیک کوانتومی، که هنوز از نظر آزمایشی تأیید نشده است، آغاز می کنیم. احتمالاً تاکنون با حقیقت مواجه شده اید که تقارن زیادی بین Eو B وجود دارد، امّا یک بار مغناطیسی؛ که معمولاً تک قطبی مغناطیسی گفته می شود؛مشابه بار الکتریکی در معادلات ماکسول وجود ندارد، که البته عجیب است. چشمۀ میدانهای مغناطیسی مشاهده شده در طبیعت یا ذره باردار متحرّک است، و یا دو قطبی مغناطیسی است، و هیچگاه بار مغناطیسی نیست. به جای معادلۀ (72) ∇.B=4πρ_m, که مشابه معادله زیر است. (73) ∇.E=4πρ, B. ∇ در شکل متعارف معادلات ماکسول صفر است. مکانیک کوانتومی پیش بینی نمی کن که تک قطبی مغناطیسی باید وجود داشته باشد، امّا همانطور که نشان خواهیم داد، به صورت روشن ایجاب می کند که اگر حتی یک تک قطب مغناطیسی در طبیعت یافت شود، باید مقدار بار مغناطیسی آن بر حسب e ، ℏ،وc کوانتیده باشد. بافرض این که مشابه بار الکتریکی نقطه ای، یک تک قطب مغناطیسی نقطه ای، با قدرت e_m، در مبدأ قرار گرفته باشد، در آن صورت میدان مغناطیسی ایستای آن برابر است با: (74) B=(e_M/r^2 ) r ̂. در برخورد اوّل شاید بنظر آید که میدان مغناطیسی (74) را میت وان از (75) A=[(e_M (1-cosθ ))/(r sinθ )] ϕ ̂ به دست آورد. عبارت کرل در مختصات کروی را یادآوری می کنیم. (76) ∇×A=r ̂[1/(r sinθ ) ∂/∂θ (A_ϕ sinθ )-(∂A_θ)/∂ϕ] + θ[1/sinθ (∂A_r)/∂ϕ-∂/∂r (rA_ϕ )]+ϕ ̂ 1/r [∂/∂r (rA_ϕ-(∂A_r)/∂ϕ)]. اما پتانسیل برداری(75) یک مشکل دارد:نقاط منفی روی محور تکینه است. در واقع برای این مسئله ساختن پتانسیل غیرتکین که در همه جا صادق باشد، امکان ندارد. برای دیدن این مطلب، ابتدا به "قانون گوس" توجه می کنیم: (77) ∫_(بسته مسیر)▒〖B.dQ=〖4πe〗_M 〗 که برای هر سطح مرزی ای است که مبدأ را که در آن تک قطبی مغناطیسی قرار دارد، در بر می گیرد. از طرف دیگر اگر غیرتکین باشد، در همه جا خواهیم داشت: (78) شکل9: نمایش نواحی که درآن پتانسیل های و برقرار است. بنابر این (79) که در تناقص با (77) است. در عین حال، می توان استدلال کرد که چون پتانسیل برداری تنها ابزاری برای یافتن است، بنابراین اصراری نیست که یک عبارت واحد برای داشته باشیم که در تمام نقاط معتبر و صادق باشد. فرض کنید که یک جفت پتانسیل به صورت زیربسازیم (80الف) (80ب) به گونه ای که پتانسیل می تواند در همه جا به جز در داخل مخروطی که توسط در اطراف منفی محور- z تعریف گرددمورد استفاده قرار گیرد، به همین صورت پتانسیل می تواند در همه جا به جز در داخل مخروطی که توسط در اطراف مثبت محور-z تعریف می شود،مورد استفاده قرار گیرد، این دو باهم، در همه جا با عبارت صحیحی برای منجر می شوند. حال ببینیم در ناحیۀ مشترک که می توان از یا استفاده کرد، چه اتفاقی می افتد. چون این دو پتانسیل به یک میدان مغناطیسی واحد منجر می شوند، باید از طریق یک تبدیل پیمانه ای با یکدیگر مرتبط باشند. برای به دست آوردن ی مناسب این مسئله، ابتدا توجه می کنیم که (81) با توجه به عبارت گرادیان در مختصات کروی (82) ∇Λ=r ̂ ∂Λ/∂r+θ ̂ ∂Λ/∂θ+ϕ ̂ 1/(r sinθ ) ∂Λ/∂θ, به دست می آید که (83) و منظور ما را برآورده می کند. سپس تابع موج ذره ای با بار الکتریکی را که تحت میدان مغناطیسی (74) قرار می گیرد،در نظر می گیریم. همانگونه که قبلاً هم تأکید کردیم، شکل مشخص تابع موج بستگی به پیمانه مشخص مورد استفاده دارد. در ناحیۀ مشترک می توان از یا استفاده کرد، توابع موج متناظر، بر طبق (55)، به صورت زیر به هم مربوطند. (84) توابع موج و باید تک مقدار باشند، زیرا با انتخاب پیمانه ای خاص، باید بسط کت حالت بر حسب ویژه کت های مکان، یکتا باشد. زیرا در هر حال، همانگونه که بارها تأکید کرده ایم، تابع موج چیزی جز ضریب بسط کت حالت بر حسب ویژه کتهای مکان نیست. حال می خواهیم رفتار تابع موج را در استوا (θ=π/2) به اندازه یک r معیّن، که یک ثابت است، بررسی کنیم. هنگامی که در امتداد استوا، زاویه سمتی ϕ را افزوده و یک دور بزنیم، مثلاً از ϕ=0 تا ϕ=2π، و ψ^((II)) باید به مقدار اولیه خود برگردند زیرا هر دو تک مقدار هستند. با توجه به (84) این امر امکانپذیر خواهد بود اگر (85) (2ee_M)/ℏc=±N,N=0,±1,±,… بدین صورت به نتیجه ای بسیار دوراز انتظار رسیدیم: بار مغناطیسی باید بر حسب واحد (86) ℏc/2|e| ≃(137/2)|e| کوانتیده باشد. کمترین بار مغناطیسی ممکن است که بار الکترون است. از طرف دیگر، جالب است که اگر فرض کنیم تک قطب مغناطیسی وجود دارد، آنگاه می توان به ) 85) بازگشت و توضیح داد که بار الکتریکی کوانتیده است، بطور مثال چرا بار پروتون نمی تواند 999972/0 برابر باشد بار دیگر تکرار می کنیم که مکانیک کوانتومی ملزم نمی کند که تک قطبی مغناطیسی وجود دارد. اما به صورت دقیقی پیش بینی می کند که اگر در طبیعت یافت شود، باید بر حسب واحد کوانتیده باشد. کوانتش بار مغناطیسی در مکانیک کوانتومی، ابتدا توسط دیراک در سال 1931 نشان داده شد. نحوۀ استدلالی در اینجا آورده شد، به وو و یانگ منتسب است. مثال: مسئله حرکت تقدیمی اسپین که در متن بحث شد را در نظر بگیرید . این مسئله را در تصویر هایزنبرگ نیز می توان حل کرد . با استفاده از هامیلتونی معادلات حرکت هایزنبرگ را برای عملگرهای تابع زمان Sx(t) ، Sy(t) و Sz(t) بنویسید . آن ها را حل کرده و Sx,y,z را بصورت تابعی از زمان به دست آورید . حل: مثال: فرض کنید x(t) عملگر مکان یک ذرة آزاد در یک بعد و در تصویر هایزنبرگ است. کمیت زیر را محاسبه کنید[x(t) , x(0)] . حل: مثال: یک نوسانگر هماهنگ سادة یک بعدی در نظر بگیرید . الف: با استفاده از کمیّات ، ، ، و را حساب کنید . ب: صحّت قضیه ویریال را برای مقادیر چشمداشتی انرژی جنبشی و پتانسیل ، نسبت به یک ویژه حالت انرژی ، بررسی کنید . حل:الف:با توجه به رابطه میان عملگرهای اندازه حرکت و مکان با عملگرهای خلق و فنا داریم. . ب:برای اثبات قضیۀ ویریال به صورت زیر عمل می کنیم. مثال:ذره ای به جرم M در نظر بگیرید که تحت تأثیر پتانسیلی یک بعدی ، به شکل زیر ، قرار دارد الف : حالت پایه انرژی چیست ؟ ب : مقدار چشمداشتی برای حالت پایه چقدر است ؟ حل: الف: ب: مطابق شکل داریم.
